Phân phối thống kê là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan

Định nghĩa và phạm vi của phân phối thống kê

Phân phối thống kê là hàm mô tả xác suất hoặc tần suất xuất hiện của các giá trị biến ngẫu nhiên trong một tập dữ liệu. Đối với biến rời rạc, phân phối được biểu diễn bằng hàm khối lượng xác suất (PMF – Probability Mass Function), trong khi biến liên tục sử dụng hàm mật độ xác suất (PDF – Probability Density Function). Mỗi phân phối cho biết cách giá trị của biến phân bố xung quanh các mức trung tâm, biên độ dao động và xu hướng lệch (skewness).

Phạm vi nghiên cứu của phân phối thống kê bao gồm phân phối rời rạc và liên tục, từ các phân phối cơ bản như phân phối nhị thức (binomial), Poisson, chuẩn (Gaussian) đến phân phối chuyên biệt như Beta, Gamma, Chi-square. Phân phối thống kê đóng vai trò then chốt trong suy luận thống kê, giúp ước lượng tham số quần thể, kiểm định giả thuyết và xây dựng mô hình dự đoán.

• Phân phối rời rạc: mô tả số lượng sự kiện đếm được (ví dụ số thành công trong n thử nghiệm).
• Phân phối liên tục: mô tả biến đo lường liên tục (ví dụ chiều cao, thời gian).
• Phân phối hỗn hợp: kết hợp cả hai loại phân phối để mô hình hóa dữ liệu phức tạp.

Việc hiểu rõ đặc tính của mỗi phân phối cho phép lựa chọn mô hình phù hợp với dữ liệu thực nghiệm, đồng thời đánh giá được tính hợp lệ của các kết quả phân tích, bao gồm khoảng tin cậy, kiểm định độ phù hợp và tham số mô hình.

Lịch sử phát triển

Khái niệm phân phối thống kê khởi nguồn từ thế kỷ 17 khi Jakob Bernoulli nghiên cứu luật số lớn và giới thiệu phân phối Bernoulli, sau đó phát triển thành phân phối nhị thức (binomial distribution). Bernoulli mô tả xác suất thành công trong mỗi phép thử độc lập với hai kết quả.

Đến thế kỷ 18–19, Carl Friedrich Gauss và Pierre-Simon Laplace mở rộng lý thuyết xác suất, hình thành phân phối chuẩn (Gaussian distribution) và định lý giới hạn trung tâm (Central Limit Theorem). Định lý này khẳng định rằng tổng của nhiều biến ngẫu nhiên độc lập, dưới điều kiện nhất định, sẽ hội tụ về phân phối chuẩn khi số lượng biến tăng lên.

Trong thế kỷ 20, với sự bùng nổ của máy tính và khoa học dữ liệu, các phân phối phức tạp hơn như phân phối Beta, Gamma, Chi-square, Student’s t, F đã được nghiên cứu sâu, phục vụ cho kiểm định giả thuyết, mô hình hồi quy và thiết kế thí nghiệm. NIST e-Handbook và các công cụ phần mềm hiện đại (R, Python) đã chuẩn hóa việc tính toán và mô phỏng phân phối thống kê.

Các loại phân phối thống kê cơ bản

Có hai nhóm chính phân phối thống kê:

1. Phân phối rời rạc:
   • Phân phối nhị thức (Binomial): xác suất có k thành công trong n thử nghiệm độc lập với xác suất thành công p.
   • Phân phối Poisson: mô hình số sự kiện hiếm xảy ra trong khoảng thời gian hoặc không gian cố định, tham số λ.
   • Phân phối hình học (Geometric): số lần thử cho đến lần thành công đầu tiên.
2. Phân phối liên tục:
   • Phân phối chuẩn (Gaussian): $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)$, tham số μ (trung bình) và σ² (phương sai).
   • Phân phối đều (Uniform): giá trị trong khoảng [a,b] có xác suất đồng đều, $f(x)=\frac{1}{b-a}$.
   • Phân phối mũ (Exponential): mô hình thời gian chờ giữa các sự kiện Poisson, $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$.

Mỗi loại phân phối có biểu đồ đặc trưng (histogram/curve) và công thức xác suất riêng, đáp ứng nhu cầu mô hình dữ liệu khác nhau trong kinh doanh, khoa học tự nhiên, kỹ thuật và y sinh.

Tham số và đặc trưng phân phối

Tham số phân phối là các giá trị điều khiển hình dạng, vị trí và độ rộng của phân phối. Đối với phân phối chuẩn, tham số μ xác định vị trí trung tâm, σ² xác định độ lan rộng xung quanh μ. Đối với rời rạc như binomial, n quyết định số thử nghiệm, p xác định xác suất thành công mỗi thử nghiệm.

Các đặc trưng thống kê quan trọng bao gồm:

• Trung bình (Mean): giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên.
• Phương sai (Variance): độ phân tán quanh giá trị trung bình, $\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]$.
• Độ lệch chuẩn (Standard Deviation): căn bậc hai của phương sai, thể hiện độ lan tỏa.
• Hệ số đối xứng (Skewness): đo mức độ lệch trái hoặc phải của phân phối.
• Độ nhọn (Kurtosis): đo mức độ dày đỉnh hoặc mỏng đuôi so với phân phối chuẩn.

Biểu diễn CDF (Cumulative Distribution Function) và PDF/PMF giúp hình dung trực quan các đặc trưng này: CDF cho biết xác suất biến ngẫu nhiên không vượt quá một giá trị nhất định, trong khi PDF/PMF cho biết mật độ hoặc khối lượng xác suất tại từng giá trị.

Hàm phân phối và hàm mật độ

Hàm phân phối tích lũy (CDF – Cumulative Distribution Function) của một biến ngẫu nhiên X cho biết xác suất P(X ≤ x) cho mọi giá trị x thực. Đối với biến liên tục, CDF là tích phân của hàm mật độ xác suất (PDF – Probability Density Function), còn với biến rời rạc, CDF là tổng dồn của hàm khối lượng xác suất (PMF – Probability Mass Function). CDF luôn tăng không giảm, tiệm cận 0 khi x → −∞ và tiệm cận 1 khi x → +∞.

Hàm mật độ xác suất (PDF) mô tả mật độ xác suất tại mỗi giá trị x, tuy không cho trực tiếp xác suất tại điểm (bởi PDF có thể vượt quá 1) nhưng tích phân của PDF trên một khoảng [a, b] cho ta xác suất P(a ≤ X ≤ b). PMF dành cho biến rời rạc xác định trực tiếp P(X = k) cho mỗi giá trị k.

• PDF: f(x) ≥ 0, ∫−∞+∞ f(x) dx = 1.
• PMF: p(k) ≥ 0, ∑k p(k) = 1.
• CDF: F(x) = ∫−∞x f(t) dt hoặc F(k) = ∑t≤k p(t).

Biểu diễn đồ họa cho PDF/PMF và CDF giúp trực quan hóa phân phối: các histograms kết hợp đường cong PDF hoặc đồ thị bậc thang của CDF thường dùng trong phân tích dữ liệu, kiểm định giả thuyết và mô phỏng Monte Carlo.

Phương pháp ước lượng tham số

Ước lượng điểm (point estimation) tập trung tìm giá trị tham số θ sao cho mô hình phân phối phù hợp nhất với dữ liệu quan sát. Phương pháp Maximum Likelihood Estimation (MLE) chọn θ* tối đa hóa hàm likelihood L(θ; data) = ∏ f(xi|θ). MLE cho kết quả bất định đúng và có tính hội tụ khi cỡ mẫu lớn.

Phương pháp Moments (Method of Moments – MoM) ước lượng tham số dựa trên việc so sánh các moment mẫu (mean, variance,…) với moment lý thuyết của phân phối. MoM thường đơn giản tính toán nhưng kém chuẩn xác hơn MLE trong nhiều trường hợp.

• MLE: ưu điểm tính chính xác cao, nhược điểm cần giải tích phức tạp.
• MoM: ưu điểm đơn giản, nhược điểm đôi khi cho bias lớn.
• Khoảng tin cậy (CI): ước lượng khoảng giá trị chứa tham số với độ tin cậy nhất định, thường sử dụng công thức Wald, bootstrap hoặc phương pháp profile likelihood.

Ví dụ, đối với phân phối chuẩn, MLE cho μ̂ = x̄ và σ̂² = (1/n)∑(xi−x̄)²; CI cho μ là x̄ ± zα/2(σ/√n).

Kiểm định phù hợp (Goodness-of-Fit)

Kiểm định phù hợp đánh giá xem dữ liệu quan sát có tuân theo phân phối giả thuyết hay không. Kiểm định Chi-square chia không gian giá trị thành các ô (bins), so sánh tần suất quan sát Oi và tần suất kỳ vọng Ei qua thống kê:

$\chi^2 = \sum_i \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

Kiểm định Kolmogorov–Smirnov (K–S) đo khoảng cách lớn nhất giữa CDF mẫu Fn(x) và CDF giả thuyết F(x):

$D = \sup_x |F_n(x) - F(x)|$

Chỉ số AIC (Akaike Information Criterion) và BIC (Bayesian Information Criterion) đánh giá trade-off giữa độ khớp và độ phức tạp mô hình, lựa chọn mô hình có giá trị AIC/BIC nhỏ nhất.

Ứng dụng thực tiễn

Trong kinh doanh và tài chính, phân phối thống kê dùng để mô hình hóa lợi suất chứng khoán (có thể không chuẩn), đánh giá rủi ro (VaR – Value at Risk), và tối ưu hóa danh mục đầu tư. Phân phối t-student hoặc phân phối Levy thường được sử dụng khi dữ liệu có đuôi dày.

Trong bảo hiểm, phân phối Poisson và Gamma kết hợp thành phân phối Poisson–Gamma (NegBinomial) dùng để mô hình hóa số yêu cầu bồi thường và số tiền bồi thường. Trong y sinh, phân phối Weibull và Exponential dùng để phân tích độ tin cậy thiết bị y tế và thời gian sống sót của bệnh nhân.

• Phân tích mạng lưới: mô hình Poisson cho số kết nối.
• Xử lý tín hiệu: phân phối Gaussian cho nhiễu trắng.
• Thiết kế thí nghiệm: phân phối F và t để so sánh phương sai và trung bình.

Công cụ tính toán và mô phỏng

Ngôn ngữ R cung cấp gói stats với hàm dnorm(), pnorm(), dbinom(), pbinom()… để tính PDF, CDF và PMF của hầu hết phân phối. Python với SciPy (scipy.stats) tương tự hỗ trợ phân phối liên tục và rời rạc, cùng NumPy để sinh ngẫu nhiên.

MATLAB, SAS và SPSS là các phần mềm thương mại tích hợp sẵn giao diện đồ họa và hàm phân phối. Monte Carlo simulation (mô phỏng lặp ngẫu nhiên) dùng để khảo sát hành vi phân phối dưới nhiều kịch bản, đánh giá độ ổn định của các ước lượng và kiểm định.

1. R: d*, p*, q*, r* functions (vd. dnorm, rnorm).
2. Python: scipy.stats.norm.pdf(), .cdf(), .rvs().
3. MATLAB: makedist, pdf, cdf, random.

Xu hướng nghiên cứu và thách thức

Phân phối phi tham số (nonparametric) như Kernel Density Estimation (KDE) không cần giả định hình dạng, thích hợp với dữ liệu phức tạp và đa modal. Tuy nhiên, việc chọn bandwidth trong KDE ảnh hưởng lớn đến kết quả ước lượng.

Mô hình hỗn hợp Gaussian (GMM) và phân phối hỗn hợp khác cho phép nắm bắt cấu trúc dữ liệu đa thành phần. AI và machine learning hiện đại sử dụng GMM, Bayesian nonparametrics (Dirichlet Process) để xây dựng mô hình linh hoạt hơn.

• Thách thức: dữ liệu kích thước nhỏ, thiếu quan sát vùng đuôi.
• Tích hợp dữ liệu lớn: tính toán hiệu quả và phân phối phân tán.
• Xây dựng mô hình tương tác giữa nhiều biến phân phối khác nhau.

Tài liệu tham khảo

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. “Probability Distributions.” 2025. itl.nist.gov
• Johnson, N. L., Kotz, S., & Kemp, A. W. “Univariate Discrete Distributions.” 3rd ed., Wiley, 2005. ISBN 978-0471697096.
• Casella, G., & Berger, R. L. “Statistical Inference.” 2nd ed., Duxbury, 2001. ISBN 978-0534243128.
• Stats.StackExchange. “Advantages of MLE over Method of Moments.” 2015. stats.stackexchange.com
• ScienceDirect. “Statistical Distribution.” 2024. sciencedirect.com